ちゅらぷら日記

ポポロとかやってるゲームとかお仕事メモとか書きます

回転体とパップスギュルダンの定理について

このご時世でお仕事が休みになってしまって、暇だからyoutubeでオンライン授業をあさってたら数学の回転体の動画を見つけました。

数学苦手でしたが、回転体について考えてたらパップスギュルダンの定理というものに行きついたのでまとめました。

パップスギュルダンの定理について知りたい方は前置きが長いので下のリンクからどうぞ。

 

 

回転体とは?

たしか回転体って、関数を積分して体積を求めるやつですよね?

xが0~1の区間でx軸を中心に回転させる時の式は、

V = ∫10 πy2 dx

 

個人的なイメージですが底面積をある区間でもって積み上げてく感じ。

 

例えば、

y=1のグラフについて

x=0から1までをx軸を中心に回転させた体積を求めるとすると、

 

f:id:turapura:20200427112434j:plain

y1

 

V = ∫10 π 12 dx

   = π [x]10

   = π

 

要は、

半径=1

高さ=1

の円柱の体積を求めてる感じ。

円柱の体積 = 底面積(半径 × 半径 × π) × 高さ

だから、円柱の体積 = 1 × 1 × π × 1 = π

ですね。

 

ちょっと気になったのですが・・・

正方形の角を2つ持って、グルっと1周(360度分?それとも円周分?)回しても円柱になるのでは?つまり、360度分か円周分を積分すると体積は求められるのでは?

 

まず、半径rの円柱の体積は半径r、高さhとすると、

正しい円柱の体積 = r × r × π × h = π = πhr2

 

1.円周分(2πr)積分する

正方形の縦「r」横「h」とすると面積は「hr」なのでこれを2πr積分すると

円柱の体積 = 2πr0 hr dx

みたいなかんじでしょうか??hrは定数なので、積分すると「hrx」となりますね。

結果は「hr2」となりますね。・・・正しい円柱の体積と2倍も違う??

 

2.360度分(2π)積分する

同様に積分すると

円柱の体積 = 0 hr dx

結果は「hr」となりますね。・・・うーーん???

 

 

そもそもですが、円の面積ってどう求めてるの?

たとえば長方形の面積を求めるときは、

長方形の面積 = 縦 × 横

「縦の線」が「横の数」だけ積み重なって図形になるって個人的なイメージです。

 

では円の面積は?

円の面積 = 半径 × 半径 × π

この公式ってどこから来たんでしょう??

だいぶ前の記憶ですが、小学校の頃に円を何等分かの扇形に切って、それを長方形になるように互い違いに積み重ねて面積を出した記憶があります。

 

f:id:turapura:20200427132242p:plain

circle

 上の図は8等分にしかしてないので微妙な図形ですが、

短辺が「r」長辺が「円周の半分(πr)」なので

円の面積 = r × πr

半径の値に円周の半分であるπr分を積み重ねるってイメージかな?

 

まとめ・・・?

以上のことから、円周の半分である 「πr」 分を積算すればよいということがわかりました。

すなわち、

円柱の体積 = πr0 hr dx

これで結果が「πhr2」になりました!

 

では円錐は・・・?

応用を聞かせて円錐の体積も求めてみましょう。まず円錐を求める公式は、

円錐の体積 (V) = 底面積 (πr2) × 高さ(h) × 1/3 = 1/3πhr2

半径が1で高さも1の円錐の体積は「1/3π」になりますね。

・・・1/3っていやな数字。

 

下図みたいにy=xのグラフで、xが0から1までの区間でx軸を中心にして回転体を求めると円錐になりますね。求めてみると、

V = ∫10 π x2 dx

   = π [1/3x3]10

   = 1/3π

数字もあってますね。

f:id:turapura:20200427135118p:plain

y=x

では、さきほど同様に円周の半分を積算してみましょう。

今回は円錐なので、上図の赤く塗りつぶされた部分の「直角三角形」を円周の半分積算します。円周の半分は、「πr」で半径は1なので「π」。

上図の場合の直角三角形の面積は「底辺×高さ÷2」で「1/2」となるので式は、

V = π0 1/2 dx

   =1/2[x]π0

   =1/2π

・・・やっぱり。1/3って数字が出てきたときにいやな予感はしてた。

 

パップスギュルダンの定理について

いくら調べても原因がわからず、いろいろ調べた結果「パップスギュルダンの定理」という定理に行きつきました。

Wikipediaさん曰く、

 

平面上にある図形 F の面積を S とし、F と同じ平面上にあり F を通らない軸 l の周りで F を一回転させた回転体の体積を V とする。回転させる図形 F の重心 G から回転軸 l までの距離を R としたとき、

V = 2πRS

が成り立つ。この式は、

(回転体の体積 V) = (図形 F の重心 G が回転により描く軌跡の長さ) × (図形 F の面積 S)

と解釈することができる。

 

まとめ

パップスギュルダンの定理により計算が合わない理由がわかりました。

「円周の半分の積算」でも「360度分の積算」でもなく、

360度(2π) ×「回転軸から図形の重心までの距離」

ですね。

 

たとえば円柱の場合、パップスギュルダンの定理

V = 2πRS

により図形Fを1×1の正方形だとすると、正方形の重心Rは1/2となりますね。

よって、

V = 2π × 1/2 × 1(正方形の面積) =π

となり正しいですね。

 

円錐の場合は、

パップスギュルダンの定理

V = 2πRS

により図形Fを底辺1×高さ1の直角三角形とすると、直角三角形の重心は1/3なので、

V = 2π × 1/3 × 1/2(直角三角形の面積) =1/3π

となりますね。

 

重要なのは

図形 F の重心 G が回転により描く軌跡の長さ

でした。

 

 

イメージがわきにくいですが、

ドーナツをイメージして・・・ドーナツを円周方向に垂直にぐるっと1周包丁で細かく切って縦に積み重ねても、外周ほど高くは積みあがらないってことかな。

ラテール ソウルテイカー日記その3

倉庫のお金のほとんどを使って、軍団長の武器を手に入れました!

レジェンドクエストもやっっっっと全部終わって、火力も上がって紫色の1億ダメージが見えるようになってきました(星守りの効果がついた時だけですが…)。

レベルは231。235レベルまであともう少し。
でも経験値1000%のイベントが終わってレベル上げがつらいです…。


ちなみに、これまでの武器防具の変遷ですが、

〜200まで
冒険者防具に10周年武器
・育成支援の特殊装備

200〜
・天コロ防具に上級突然変異アクセ(エンチャントはせず)

205あたりから
・交換券を使ってダイナスティ精霊石を交換(エンチャントはまだしない)
・武器は10周年のまま

210あたりから
・オークションでエリアン武器購入(大小90くらい)
・以後、オークションでエリアン武器が安い時に買って、砕いて強化素材を集める日々
→安い時は5Mとかそのくらい
・破壊防具が安く売ってるので装備したり強化したり

213から
・交換券でエリアン精霊石を交換
→エンチャント仮面等で100%にしてから初エンチャント
とりあえず属性大小10-10を作る


220から
・オークションにて砂漠の防具を購入
→だいたい10Mくらい
・腕はクリダメ100↑のものを450Mで購入

229あたりから
・軍団長武器を購入(大小100くらい)。レベルダウンを使って装備
・交換券で軍団長精霊石をエリアンの時同様につくる
→230になったら空けれるイベントのBOXですが、229で空きました…。ドリゲの装備可能レベル-1とか関係ある??


最近は育成支援の特殊装備→230から装備可能な特殊装備に乗り換え中。

あと、特殊装備にAP上限値が上がるのもあります。
ソウルテイカーのシールドとか透視案とか無敵スキルがAPスキルなので、使える時に使うためにも上限値を上げたかった。


早く超越したいーー。

ラテール ソウルテイカー日記その2

無限三種?とよばれる

・チョコガーデン

・捩れた世界樹

・夕暮れの森

にも通・・・いたけど一部マップの大量の敵を処理できなくてなかなかつらい今日この頃です。でもチョコガーデンには慣れてきた。動画もとってみた!


ラテール チョコガーデン ソウルテイカー×アークメイジ

 

 

 早く235レベルになって超越ってやつやってみたい。

 

あと、レジェンドクエストで聖なる会堂に行けって言われたけど敵が強すぎ!

 

進行度が同じのギルメンとペアで行きましたが、3日くらい通ってやっとバフォメットのクエスト終わりました。

ついでにちょっと進んでみたけど、道中が結構長いしギミックがちょこちょこあるし、ブラスを倒した!って思ったらまだ続くし。

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ラテールブラス

明日こそレジェンドクエスト終わらせて、生存本能って強いバフスキル手に入れたい。

ラテール ソウルテイカー日記その1

ちょっと前からラテールソウルテイカーを遊んでます。既にもう228レベル。

 

・・・というのも、現在常に経験値バフが1000%ついてるので、どうしてもソウル系列がやってみたくてはじめてみました。

 

操作はすっっっっっごく大変。

焦ると今自分がレッドかブルーかダークソウルかわかんなくなる。

あとレッドソウルの時に他ソウルのアビリティスキルクールタイムわかんない。

 

ただ、今までアグニとかフェイタルブレイドとかやってみてたけど、ソウルが一番DPSが高くてびっくり。

 

それから、前記事の時よりもクエストがおいしくなった気がします。

インボーグの拡張インベントリクエストも最初から受けれるようになったし。

 

ちなみにレベル上げの流れですが、200までだいたいモンスタータワーに引きこもり。

飽きたら一般クエスト。

経験値バフとクエスト報酬UPバフのおかげで、だいたい2時間くらいで200になります。

 

あとは200レベルから天空コロシアムと飽きたらその付近のクエスト。

228レベルまで結構大変でしたが、1か月かからないくらいでここまできました。

 

 

ちなみにスキル振り↓

https://bit.ly/2ND7bOi

なぜか上記のスキルを振ると228レベル時点で+1余るのでマスタリに振ってます。

 

防具ですが、破壊・破滅防具とか砂漠・太陽防具もオークションに流れてるので、イミル研究所で金策しながらお金で解決。

武器は、エリアン武器交換券もあるし、オークションにも流れてるので安い時を狙ってお金で解決。

 

そんなかんじでフェイタルブレイドの時にはかなりきつかったエリアンにも最近挑戦しつつがんばってます。

きまぐれテンプテーション 感想

きまぐれテンプテーションというゲームにすっごくはまってしまって、超ド田舎から東京の池袋に足を延ばして、月間賞イベントに参加してきました。

 

 

きまぐれテンプテーションについて

シルキーズプラスWASABIさんが出したゲームです。

公式サイトについては18歳未満の閲覧はご遠慮させていただいておりました。

とあるマンションで起きた事件を解決するのが目的で、謎を解くためにマンションの住人から話を聞いたり探索したり相棒のイギリスの悪魔の女の子と親交を深めたり。

アドベンチャーゲーム(ADV)と呼ばれるジャンルで、テキストを読み進めながらお話が進む感じです。

あと、お話ちょっと怖いです。

 

感想(ネタバレ注意)

もともとはsolfaさん経由でこの作品を知ったそうですが、体験版をやっているのをわたしが隣で見てて、この作品を教えてもらいました。なんかすごかった。

悪魔の女の子ことアンネリーゼちゃん、声付きでしゃべるんですが彼女がめっちゃ動く。

セリフに合わせて目線とかも動いてたし、他にもいろいろ動くしすごいの一言。

あと、マンションの部屋の中を調査したり各部屋を探索したりマンションの住人とお話したり……調査パートもあって面白いです。

 

ただ、この作品を知ったのが11月の2週目くらいだったので予約購入できず。悔しい。

特典ボイスが聞きたくて初めてDMMさんでダウンロード購入。アンネちゃんの着信音がすごくかわいいのでおすすめ。

それにしても、購入してすぐゲームをダウンロードしてプレイもできてってなんかすごいですね......。

 

そして体験版の先へ。

公式サイトのストーリーのあらすじを見てもわかりますが、内容は結構重いです。

後半のマンションの住人の姿にも衝撃を受けました……。選択肢もいっぱいでてきて、悩みながら選んだけど助けてあげられなくて辛かったり……。

あと、声優さんたちの演技とかイラスト書いてる方とかシナリオの方の表現もすごいです。なのでその分怖さも倍増。

主人公くんがもしアンネちゃんと一緒に行動してなかったら怖くてお話進められなかったかも。アンネちゃんの存在感に助けられた感がありました。

 

ラストもすごく感動。

そして最後のあの選択をユーザーに選ばせる演出がずるくて......。

ぜーんぶ終わった後は操作手帳を見ましょう!

エンディングは複数あります。 

 

月間賞イベントへ

アンネちゃんかわいいし、この作品にとってもはまってしまったので勢いで応募してしまいました。

ほかの作品もやったことないし月間賞についても何も知らない初心者だけどいいのかなとか思ったけど参加条件に「応援してる人」って書いてあるしそれに則る感じで!

 

場所は池袋。

12月1日(日)に2部構成で実施。

超ド田舎から見知らぬ土地に超絶方向音痴マンの私が1人で行くので、2部も行きたかったですが帰りの時間に余裕をもって1部のみ参加。交通費やばかった。

こういうイベントって初めてだったのですが、知ってる人もいないので現地についてもどこにどう並んでいればいいのかもわからずにあたふたしてました。

が、アンネちゃんの缶バッチがついたカバンを持った方とか見かけたのでこの集団なんだろうなーってかんじで並べました。

 

イベント会場は満席。

いっぱいグッズ買いました。「101を押して!キーホルダー」も細部まで凝っててかわいいし買えてよかった。

ゲストさんは、アンネリーゼ役の歩サラさん、主題歌担当の小春めうさん、エンディング担当のRinさん。

おめでとうの乾杯に始まり、カラオケ大会にクイズ大会、じゃんけん大会。生ライブもありました。まじかでの生ライブすごかったです!

CD持ってないし主題歌エンディング曲のフルバージョンも聞いたことなかったからCD出たら絶対買う。

クイズ大会ですが、前もってかなり勉強してたけど結構難しくてだめでした......。ハーヴィーちゃんの髪型だったかな?公式HPにも目を通しとくんだった。

カラオケ大会もすごかったです。歌手の方の前で歌うってだけで緊張するのにみなさんお上手だし原曲キーで歌われる男性の方もいたり。

 

などなどとても楽しい時間を過ごさせていただきました。

きまぐれテンプテーションしか知らない私でしたが、参加できて一緒にお祝いできてとってもよかったです。迷わず行けてよかった!

 

年末にもさまざまイベントがあるようでぜひ行きたい。ですが交通費がやばい。

イベントも多いし関東付近に住みたいな……。

めざせ2000チェイン

うちの船団で、2000チェインを目指すことになりました!


でも、2000チェインって結構難しいです。

フル参戦で20人だから、1人100チェインでもギリギリ。
あとは相手の船団の強さにもよりますよね。
激しいとこだと、すぐ全滅させられて回復待機に時間をたくさん使っちゃう。

あとはみだれうちで生存率をあげたり、命のしずくかなあ。
攻撃待機時間減少する戦術もあったような。


今日は命のしずくとみだれうちでやったら123回!
お相手が強いとこで結構全滅させられたり、重くて1回落ちちゃったりしたからもうちょっと行けそう。

うちの船長のためにも2000チェインがんばりたい。

第6回 ヴァルナス杯

ここ最近でたっくさんの戦術が出てきてわからなくなりつあります…。

でも、この前に大好きなブルンバブンがガチャ玉で出てきてくれて超うれしかった!
迎撃時のptアップっていう新しい戦術です。


そして今回のヴァルナス杯。
上位の船団では、「精霊の凱歌」って全員のバトル獲得ptが上がる戦術の重ねがけが流行っているようで、うちの船団でも頑張って重ねがけてます。

ただ、難しいのがTPの管理ですよね…。
重い戦術ばっかりでなかなかたまらない。
凱歌も80TPだし。

そこで戦線鼓舞の評価も上がってます。
仲間全員のTPが回復するやつ!


とかとかいろいろありまして、船団戦のパーティをすっごく悩んでました。
結局今回はサポートしながら砲撃もちょっとしてpt稼ぐかんじにしました。

↓パーティ
勇猛果敢なアデス
戦線鼓舞なエレナちゃん
凱歌カレン
セーラーリズ
一点突破フェネ
URイザベラ
一点突破パジャマアルフォンス
ラクシャ
ボリス
ナダル

あと陣は砲撃上がるやつ。
結構ptあがります。

初めて一点突破を詰めてみました!
ラクシャを使って3つ重ね。
60TPの一点突破もあるので、セーラーリズの20TP回復戦術も使ってすぐ3つ重ねてキリ番に合わせたりとか。
チェインが早いと次のキリ番に攻撃のクールタイムが間に合わない。
偶数番と奇数番で分けてやったりするらしいですね。


あと、ナダルの正々堂々がちょっと便利。
おたけび使うけど強襲で消化されちゃうのが怖い時、正々堂々の強襲無効を使ってTP貯め。

今まで正々堂々と船体ダウンの組み合わせがよくわからなかったけど、結構いいかんじ。


序盤は一点突破したり、みだれうちと勇猛果敢でpt稼ぎ。
後半は凱歌とかサポート。
今までpt稼ぎしたことなかったけど、稼げるとちょっと楽しいですね。

うちの船団に殲滅で1人で200万も稼いでる方もいらしてまして、すごく楽しそう。
アクセ作りの時はすごくつらそうでしたが、努力のたまものです。


わたしもそろそろ新しい砲撃アクセ作らないと…。